CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS
Costo energético del cambio de la información cuántica mutua en un sistema de dos qubits
Energetic cost of the changeof mutual quantum informationin a two-qubit system
María de Lourdes López-García benyana21@hotmail.com
Costo energético del cambio de la información cuántica mutua en un sistema de dos qubits
Investigación y Ciencia, vol. 31, núm. 88, pp. 1-8, 2023
Universidad Autónoma de Aguascalientes
Recepción: 02 Junio 2022
Aprobación: 02 Diciembre 2022
Publicación: 31 Enero 2023
Resumen: Para evitar efectos no deseados donde se pierde la señal de los dos qubits (decoherencia), se considera un sistema de dos qubits expuestos a un reservorio común a muy bajas temperaturas. Se deriva una expresión para la información cuántica mutua. Tal cantidad tiene una componente clásica y una componente estrictamente cuántica. Se halla el límite estrictamente cuántico donde las correlaciones cuánticas desaparecen. Al invocar la Primera Ley de la Termodinámica, se demuestra que el principio de conservación que subyace detrás de la ganancia (pérdida) de información cuántica mutua será proporcional a la conservación de la energía interna del sistema a temperatura constante. En caso de ganancia (pérdida) de información cuántica mutua el sistema tomará (cederá) energía interna de (hacia) los alrededores.
Palabras clave: dos-qubits, correlación clásica, discordia cuántica, información cuántica mutua, entropía, energía.
Abstract: In order to avoid unwanted effects where the signal of the two-qubit is lost (decoherence), it is considered a two qubits system exposed to a common reservoir at very low temperatures. It is derived as an expression for mutual quantum information. Such a quantity has a classical component and also a quantum component. It is found to be a strictly quantum limit where classical correlations vanish. By invoking the First Law of Thermodynamics, it is shown that the concept of conservation behind the generation (loss) of mutual quantum information will be proportional to the energy conservation of the system at constant temperature. In case of generation (loss) of quantum information the system will absorb (transfer) internal energy from (towards) the environment.
Keywords: two-qubits, classical correlation, quantum discord, mutual quantum information, entropy, energy.
INTRODUCCIÓN
La cantidad de información cuántica es un ingrediente fundamental para diversos protocolos de la informática cuántica, tales como teleportación cuántica (Bennett et al., 1993), codificación densa cuántica (Bennett & Weisner, 1992), intercambio de entrelazamiento (Zukowski, Zeilinger, Horne, & Ekert, 1993) y criptografía cuántica (Ekert, 1991). Para un sistema de dos qubits, la información cuántica permite caracterizar cuándo dicho sistema es separable, entrelazado, clásicamente correlacionado ocuánticamente correlacionado (Horodecki, Horodecki, & Horodecki, 2001), (Horodecki,Horodecki, Horodecki, & Horodecki, 2009), (Yang& Zou, 2010), (Yang& Xiao, 2013). El término información cuántica es muy genérico e incluye correlaciones clásicas, entrelazamiento y discordia cuántica(Yang& Xiao, 2013).
En procesamiento de la información cuántica se ha reportado generación (pérdida) de la cantidad de información cuántica (Yang & Zou, 2010). De acuerdo con la Ley de Lavoisier (Morcillo Rubio, 1988)que refiere que "Nada se crea, nada se destruye, solo se transforma" surge la siguiente pregunta: ¿En qué se transforma la cantidad de información cuántica en procesos donde hay ganancia (pérdida) de dicha cantidad? El objetivo del presente trabajo es responder esta pregunta. Para ello se considerará un sistema de dos qubits acoplado a un reservorio estructurado común a temperatura fija constante cercana al cero absoluto. Se halla que la ganancia (pérdida) de la cantidad de información cuántica mutua está relacionada con la ganancia (pérdida)de la energía interna del sistema de dos qubits.
El presente trabajo se organiza como sigue: Primero se presenta el modelo. Posteriormente se halla una expresión algebraica para la cantidad información cuántica mutua. Luego se halla la relación entre la energía interna del sistema de dos qubits y la cantidad de información cuántica mutua. Se considera un caso particular de cambio de energía interna. Se hace una discusióny se concluye con un sumario.
MATERIALES Y MÉTODOS
Consideremos un sistema cuántico abierto de dos qubits acoplados a un reservorio bosónico común a temperaturas cercanas al cero absoluto para evitar un ruido cuántico no deseado en los dos qubits de información cuántica. El Hamiltoniano del sistema total es
donde 𝐻𝑆 es el Hamiltoniano de los dos qubits, 𝐻𝑅 es el Hamiltoniano del reservorio y 𝐻𝑖𝑛𝑡 es el Hamiltoniano de interacción Sistema-Reservorio. En las aproximaciones dipolo y onda-rotante,el Hamiltoniano total puede ser desarrollado como Maniscalco, Francica, Zaffino, Lo Gullo y Plastina (2008):
donde 𝑏𝑘+(𝑏𝑘) son los operadores de creación (aniquilación) de cuantos del reservorio,𝜎±(𝑎) y 𝜔𝑎 son el operador de inversión y la frecuencia de transición del qubit 𝑎 (𝑎=1,2) respectivamente, 𝜔𝑘 es la frecuencia asociada al modo 𝑘 (𝑘=1,2,..,𝑁) del reservorio y 𝛼𝑎𝑔𝑘 describe la intensidad del acoplamiento entre el qubit𝑎y el modo 𝑘del reservorio, 𝛼𝑎es la constante de acoplamiento adimensional real midiendo la intensidad del acoplamiento Qubit-Reservorio. En lo que sigue se denotará la constante de acoplamiento colectiva mediante 𝛼𝑇 = (𝛼2/1+𝛼2/2)1/2y la intensidad relativa de interacción como 𝑟𝑎=𝛼𝑎/𝛼𝑇(𝑎=1,2).
El presente estudio se va a delimitar al caso en el cual sólo una excitación en el sistema está presente además de que el reservorio está en el vacío. Asimismo, se supondrá que inicialmente (𝑡=0) el sistema de dos qubits no está entrelazado con el reservorio y que el estado inicial de todo el sistema será
donde A y B son números complejos tales que |𝐴|2+|𝐵|2=1, |0⟩𝑎 (|1⟩𝑎) es el estado base (excitado) del qubit a(a=1,2) y |0𝑘⟩𝑅 es el estado del reservorio con cero excitaciones en el modo k. El estado inicial |ᶲ(0)⟩evolucionará en el tiempo de acuerdo con |𝜑(𝑡)⟩=𝑒−𝑖𝐻𝑡|𝜑(0)⟩(Sakurai & Napolitano, 2017). Este estado puede ser factorizado como
donde |0𝑘⟩𝑅 es el estado del reservorio con sólo una excitación en el modo k y |0⟩𝑅=⊗𝑘|0𝑘⟩.La matriz reducida de densidad de estados la cual es obtenida del operador |𝜑(𝑡)⟩⟨𝜑(𝑡)| será la siguiente
Suponiendo que la densidad espectral del reservorio está dada por
donde 𝜔𝑐 es la frecuencia fundamental de la cavidad, la solución de la respectiva ecuación de Schröedinger estará dada por (Yang & Xiao, 2013)
donde 𝛿1=𝛿2=𝛿, Ω=√𝛾2−Ω𝑅2−2𝑖𝛿𝛾, Ω𝑅=√4𝑊2𝛼2/𝑇+𝛾2 la frecuencia de Rabi generalizada y 𝑅=𝑊𝛼𝑇 la frecuencia de Rabi en el vacío. En las ecuaciones (9) y (10), los coeficientes 𝑐1(𝑡) y 𝑐2(𝑡) representan las amplitudes de probabilidad de encontrar el sistema de dos qubits en el estado |00⟩y |11⟩, respectivamente.
- Información cuántica mutua
Para dos subsistemas A y B descritos por un estado cuántico bipartita, 𝜌AB=𝜌S, la correlación total entre ellos será la información cuántica mutua (Maziero,Céleri, Serra, & Vedral, 2009)
donde 𝑆(𝜌) =−𝑇𝑟(𝜌log2𝜌) es la entropía de Von Neumann de la matriz de densidad 𝜌 y 𝜌A (𝜌B) es el operador reducido de densidad para los subsistemas A (B).Por otra parte, la información cuántica mutua está definida también en términos de la correlación cuántica (discordia cuántica) (Ollivier & Zurek, 2001) Dy la correlación clásica C (Vedral, 2003)a través de
La expresión analítica para las correlaciones clásicas será la siguiente
Por otra parte,la correlación cuántica será
- Energía interna e información cuántica
De acuerdo con la Primera Ley de la Termodinámica (Bailyn, 1994), en ausencia de fuerzas externas la energía interna total Uestará dada por
donde T es la temperatura del sistema y S es la entropía del sistema. De acuerdo a las Ecs. (12), (13) y (16) la energía interna U estará relacionada a la información cuántica 𝜏 a través de
RESULTADOS
En lo que sigue supondremos sin pérdida de generalidad que 𝑐1(𝑡=0)=1 y 𝑐2(𝑡=0)=0. Para tiempos remotos,los coeficientes de las Ecs. (9) y (10) serán 𝑐1(𝑡→∞)=𝑟2/2 y 𝑐2(𝑡→∞)=−𝑟1𝑟2.Por otra parte, la Ecuación (17) nos dice que en este límite el incremento de energía interna e información cuántica estará dado por
De las Ecs. (9), (10), (11), (14), (15) y (17) se tendrá que
Vale la pena observar que en el caso límite estrictamente cuántico cuando 𝑟2≪1, la correlación clásica de la Ec. (14) es nula en tiempos remotos y sólo sobrevive la correlación cuántica (discordia). En este límitela Ec. (19) se reduce a
De la Ecuación anterior se puede observar que U(𝑡→∞)−U(t=0)>0, por lo que en tiempos remotos hay ganancia,tanto de energía interna como de información cuántica. Dicha ganancia de la energía interna es en el sistema de dos qubits. Esta energía es tomada del reservorio que se supone suficientemente grande, de tal manera que permanece en equilibrio termodinámico ante el cambio de energía del sistema de dos qubits. Por otra parte, los cambios en el sistema de información de dos qubits se dan entre estados de equilibrio termodinámico. Al ser los estados inicial y final de equilibrio termodinámico no es necesariotomar en cuenta la decoherencia o pérdida de señal de los dos qubits de información.
DISCUSIÓN
La Ley de Lavoisier referente a que "Nada se crea, nada se destruye, sólo se transforma" da lugar a la siguiente intrigante pregunta: ¿Cuál es el principio de conservación que subyace en el fondo para procesos de procesamiento de la información cuántica donde se gana (pierde) información cuántica? Es decir, ¿de dónde viene la información cuántica ganada por el sistema de qubits? O bien ¿en qué se transforma la información cuántica perdida por el sistema de qubits? Para responder a dichas preguntas en el presente trabajo se ha invocado a la Ley de Conservación de la Energía en la forma de la Primera Ley de la Termodinámica. Para fundamentar lo anterior se emplea la hipótesis de que la información cuántica mutua se define tanto en términos de la entropía del sistema de qubits como en las correlaciones cuánticas y clásicas del sistema de qubits. El cambio en la información cuántica del sistema de qubits es proporcional al intercambio de energía interna del sistema a temperatura constante, de donde entonces una formulación más precisa de la hipótesis es la siguiente: Si el sistema de qubits gana (pierde) cantidad de información cuántica,entonces el sistema recibe (cede) energía de los alrededores, como se ejemplifica en la figura 1
Figura 1.
El intercambio de energía del ambiente al sistema deriva en una ganancia de información del sistema, es decir, la energía del ambiente se absorbe transformándola en información.
Elaboración propia.
Por razones históricas comúnmente se considera a la entropía como una cantidad estrictamente clásica macroscópica. En el presente trabajo se ha mostrado que la entropía es una cantidad que contiene tanto elementos clásicos como elementos cuánticos, tal como muestra la Ecuación (13). En dicha ecuación se puede apreciar que la cantidad de entropía del sistema de qubits es la suma de las correlaciones clásicas y las correlaciones cuánticas. De hecho, en el presente trabajo se ha hallado el límite en el cual la cantidad de entropía del sistema de dos qubits se nutre estrictamente de las correlaciones cuánticas,tal como muestra la Ecuación (20).Dicho límite se puede caracterizar como la quanticidad de la Entropía.
CONCLUSIONES
Una suposición básica para el presente trabajo es que los dos qubits bajo estudio están expuestos a un reservorio común. Dicha hipótesis lleva a que la matriz reducida de densidad de estados de la Ecuación (7) tenga una forma simétrica. Se ha hallado una expresión para la información cuántica 𝜏 dada por la Ecuación (13). La información cuántica tiene una componente clásica y una componente estrictamente cuántica. Se ha hallado también que el límite ultra cuántico donde las correlaciones cuánticas desaparecen se alcanza cuando 𝑟2≪1. El concepto de conservación que subyace detrás de la ganancia (pérdida) de información cuántica será proporcional a la conservación de la energía interna del sistema a temperatura constante. En caso de ganancia (pérdida) de información cuántica el sistema tomará (cederá) energía interna de (hacia) los alrededores (baño bosónico). Uno de los aspectos importantes del presente trabajo es que se evita el trabajo engorroso y poco claro de enfoques anteriores en cuantificar la ganancia (pérdida) de información cuántica mutua en un sistema de dos qubits. Por lo anterior, el presente trabajo pavimenta el camino para enfoques más generales donde se consideren sistemas de N qubits y el cálculo de su información cuántica asociada.
REFERENCIAS
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Notas de autor
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